Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

  Soit  \(\text{exp}\) la fonction définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que :  \(\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}\)

Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.

1. La fonction \(\boldsymbol{\text{exp}}\) ne s'annule pas sur  \(\mathbb{R}\)

On considère la fonction `\phi` , définie sur  \(\mathbb{R}\)  par :  \(\phi(x)=\text{exp}(x)\text{exp}(-x)\) . 
    a. Calculer  `\phi^{\prime}(x)` . 
    b. Calculer  `\phi(0)`  et en déduire que, pour tout  `x`  réel,  \(\text{exp}(x)\text{exp}(-x)=1\) .
    c. Conclure quant au fait que \(\exp\) ne s'annule pas sur \(\mathbb R\) .

2. Une relation fonctionnelle
Soit  \(y\)  un réel. Soit  \(h\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par :  \(h(x)=\dfrac{\text{exp}(x+y)}{\text{exp}(y)}\) . 
    a. Justifier que la fonction  \(h\)  est dérivable sur  \(\mathbb{R}\)   et calculer sa dérivée. 
    b. Calculer  \(h(0)\) . 
    c. En déduire que  \(h(x)=\exp(x)\) . 
    d. Conclure que, pour tous réels  \(x\)  et  \(y\) ,  \(\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\) .

Cette relation, appelée relation fonctionnelle, peut se verbaliser ainsi :
"La fonction exponentielle transforme une somme en un produit".

3. Exponentielle de l'opposé et d'une différence
    a. Soit  \(x\)  réel. Rappeler la valeur de  \(\exp(0)\)  et en déduire la valeur de  \(\exp(-x)\)  en fonction de  \(\exp(x)\) . 
    b. Soit   \(x\)  et  \(y\)  deux réels. Que vaut  \(\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\) ? 
    c. Soit  \(x\)  réel. Exprimer  \(\exp(2x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\) , puis  \(\text{exp}(3x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\)   puis  \(\text{exp}(4x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\) . Conjecturer une propriété permettant de calculer \(\exp(nx)\)  pour tout \(n\)  entier naturel.